关于 Kneser 图的分解数

图 $G$ 的顶点集 $D$ 称为分解集，若 $D$ 中每个顶点在 $D$ 中至多有一个邻点。图 $G$ 的分解数 $diss(G)$ 是 $G$ 中最大分解集的基数。本文研究著名 Kneser 图类 $K_{n,k}$ 中的分解问题。特别地，我们确定 Kneser 图 $K_{n,2}$ 的分解数等于 $\max{\{n-1,6\}}$。我们证明对任意 $k \geq 2$，存在 $n_0 \in \mathbb{N}$ 使得对任意 $n \geq n_0$ 有 $diss(K_{n,k})=\alpha(K_{n,k})$。我们更详细地考虑 $k=3$ 的情形，并证明此时 $n_0=8$。然后我们利用 Katona 对 $\{1,\ldots , n\}$ 中整数的循环排列，改进了 Kneser 图 $K_{n,k}$ 分解数的平凡上界 $2\alpha(K_{n,k})$。最后我们研究奇图，即 $n=2k+1$ 的 Kneser 图。我们证明 $diss(K_{2k+1,k})={2k \choose k}$。