与经典李代数相关的广义 Toda 力学及其约化

对于任何经典李代数 $g$，我们构造了一个由有序整数对 $(m,n)$ 标记的 Toda 力学的可积推广族。提供了 Lax 对、运动方程、哈密顿量以及泊松括号的普遍形式，并给出了 $\mathfrak{g}=B_{r},C_{r},D_{r}$ 且 $m,n\leq3$ 的显式例子。对于所有 $m,n$，证明了 $(m,n-1)$- 和 $(m-1,n)$-Toda 链的动力学是 $(m,n)$-链动力学的自然约化，并且对于 $m=n$，还存在一族对称约化的 Toda 系统，即 $(m,m)_{\mathrm{Sym}}$-Toda 系统，它们也是可积的。在量子情形中，所有 $m>1$ 或 $n>1$ 的 $(m,n)$-Toda 系统描述了标准 Toda 变量与非对易变量耦合的动力学。除了对称约化的情况外，所有 $(m,n)$-Toda 系统的可积性在量子化后仍然保持。