使用光滑聚集和Vanka松弛策略的Stokes方程广义最优代数多重网格收敛理论

本文讨论了我们最近应用于使用Taylor-Hood单元（$\pmb{ \mathbb{P}}_2/\mathbb{P}_{1}$）离散的稳态Stokes方程的广义最优代数多重网格（AMG）收敛理论。该广义理论建立在涉及系统矩阵和松弛算子的广义特征值问题的左右特征向量的矩阵诱导正交性基础上。该框架建立了双层误差传播算子谱半径的严格下界，从而能够精确预测对称不定问题（如鞍点系统）的收敛速度。我们将该理论应用于最近开发的用于Stokes的整体光滑聚集AMG（SA-AMG）求解器，该求解器基于演化强度连接、标准聚集和光滑延拓构建。使用加性和乘性Vanka松弛策略评估这些求解器的性能。加性Vanka松弛在每个层次上代数地构造块，由于在块对角矩阵的一侧应用单位划分，导致非对称松弛算子。虽然可以通过消除单位划分来恢复对称性，但这会损害收敛性。或者，乘性Vanka松弛在每个块内顺序更新速度和压力，以乘法方式在域上传播更新，并有效处理速度-压力耦合，确保对称松弛。我们证明，广义最优AMG理论始终为应用于Stokes方程的SA-AMG提供收敛速度的准确下界。这些发现为鞍点系统的AMG求解器设计提供了进一步改进的潜在途径。