广义 Moore 谱与更小色度层上的 Hopkins Picard 群

设对正整数 $n$,$\mathcal L_n$ 表示素数 $p$ 处 $v_n^{-1}BP$-局部谱的稳定同伦范畴。则 M.~Hopkins 将 $\mathcal L_n$ 的 Picard 群定义为可逆谱同构类之集合,其外来的(exotic)直和项 Pic$^0(\mathcal L_n)$ 已被若干作者研究。本文研究 $n^2\le 2p+2$ 时的该直和项。对 $n^2\le 2p-2$,它由 $K(n)$-局部化为 $K(n)$-局部球的那些可逆谱组成。特别地,$X$ 是 $\cL_n$ 的外来可逆谱当且仅当 $X\wedge MJ$ 同构于对不变正则理想 $J$(长度为 $n$)的广义 Moore 谱 $MJ$ 的 $v_n^{-1}BP$-局部化。对 $2p-2<n^2\le 2p+2$ 的 $n$,我们考虑 $(p,n)=(5,3)$ 与 $(7,4)$ 的情形。这些情形下,我们用 Smith-Toda 谱 $V(n-1)$ 刻画之。为此,我们证明素数五处的 $L_3V(2)$ 与素数七处的 $L_4V(3)$ 是环谱。