广义 Liénard 系统、奇异扰动系统与流曲率方法

Nicolas Minorsky 在其名著《振荡理论》中写道：“系统每次吸收能量，其轨迹的曲率就减小，反之亦然”。根据流曲率方法，轨迹曲线曲率（此类平面奇异动力系统的积分）消失之点的位置直接给出了其慢不变流形方程在 $\varepsilon$ 中的一阶近似。利用该方法，我们证明在广义 Liénard 系统的慢不变流形 $\varepsilon$ 邻域内，轨迹曲线的曲率增大而此类系统的能量减小。因此，我们证明了 Minorsky 的论断对广义 Liénard 系统成立。进而，我们建立了此类系统的曲率与能量之间的关系。这些结果随后以经典的 Van der Pol 和广义 Liénard 奇异扰动系统为例加以说明。