Ricci 流中广义 $\Cal{L}$-测地线及广义约化体积的单调性

设 $M$ 为完备 n 维流形，$n\ge 2$，其度量 $\bar{g}_{ij}(x,t)$ 在 $M\times (0,T)$ 中依 Ricci 流 $\partial_t \bar{g}_{ij}=-2\bar{R}_{ij}$ 演化。对任意 $0<p<1$，$(p_0,t_0)\in M\times (0,T)$，$q\in M$，我们定义 $p_0$ 与 $q$ 之间的 $\Cal{L}_p$-长度、$\Cal{L}_p$-测地线、广义约化距离 $l_p$ 以及广义约化体积 $\widetilde{V}_p(\tau)$，$\tau=t_0-t$，对应于时刻 $t_0$ 点 $p_0$ 处的 $\Cal{L}_p$-测地线。在 $M\times (0,t_0)$ 上对某些常数 $c_1>0$ 满足 $\bar{R}_{ij}\ge -c_1\bar{g}_{ij}$ 的条件下，我们将证明对任意 $\bar{\tau}>0$ 存在极小化 $p_0$ 与 $q$ 之间 $\Cal{L}_p(q,\bar{\tau})$-长度的 $\Cal{L}_p$-测地线。对 $p=1/2$ 情形的这一结果曾被 Perelman 关于 Ricci 流的论文中猜想并多次使用，但未见证明。我的结果是新的，并肯定地回答了此类 $\Cal{L}$-测地线极小元对 $L_p(q,\tau)$-长度的存在性，这对其论文中诸多结果的证明至关重要。我们还获得了广义 $\Cal{L}_p$-测地线及广义约化体积的许多其他性质。