用于带限线检测小波解析构造的广义三维 Zernike 函数

我们考虑在光学和光刻中常用于二维的 Zernike 多项式的三维版本。我们将三维 Zernike 多项式推广到在其支撑球 $\rho\leq1$ 的边缘以规定阶数 $\alpha\geq0$ 消失的函数。我们发展了三维广义 Zernike 函数的解析理论，并关注其傅里叶变换、Funk 变换和 Radon 变换以及缩放运算的计算结果。与标准情形 $\alpha=0$ 相比，当光滑参数 $\alpha$ 增大超过 0 时，广义三维 Zernike 函数的傅里叶变换表现出更弱的振荡行为和在无穷远更快的衰减。三维广义 Zernike 函数可用于展开由单位球支撑且在单位球边缘和原点消失、径向与角向依赖分离的光滑函数。后一类函数的特定实例（预小波）通过 Funk 变换和傅里叶变换产生各向异性函数，可用于带限线检测小波变换，适用于分析包含细长结构的三维医学数据。我们给出允许 Funk 和傅里叶变换解析计算的预小波实例及其相关径向函数。此处关键一步是识别可分离函数在单位球上关于广义三维 Zernike 函数的展开系数所取的特殊形式。另一个问题是如何在保持支撑集的同时缩放单位球上的函数，该问题以特定形式解决。