多边形与多边形面片中的泽尔尼克型正交系统

泽尔尼克多项式通常用于表示圆形光学孔径上的波前相位，因为它们在单位圆盘上构成完备正交归一基。在[Diaz et al., 2014]中，我们基于单位圆盘与椭圆及环孔之间的适当微分同胚，引入了针对椭圆和环形光学孔径的新泽尔尼克基。在此，我们给出了该泽尔尼克基对多种重要光学孔径的推广，特别关注多边形以及分段镜面望远镜中存在的多边形面片。与大多数基于格拉姆-史密斯（Gram-Smith）正交化方法的临时方案不同，此处我们考虑一种分段微分同胚，将单位圆盘变换为所讨论的多边形。我们利用此映射定义多边形上的类泽尔尼克正交归一系统。我们还考虑了多边形面片集合，这在分段镜面望远镜设计中至关重要。这种基于基函数面内扭曲的推广提供了唯一解，更重要的是，它保证了初始基函数的数学性质与物理意义的合理不变性。我们给出了通用形式以及针对典型望远镜光学孔径示例的显式表达式。