Calabi-Yau 链环上的规范理论与 G_2 几何

在 $\mathbb{C}^5$ 中 9 维球面上的加权齐次超曲面的 $7$ 维链环 $K$，在许多情形下具有非平凡的零 Sasakian 结构，该结构是接触 Calabi-Yau 的。它容许一个由 Calabi-Yau $3$-轨形基本几何诱导的典型余闭 $\rm G_2$-结构 $\varphi$。我们通过 Crowley-Nordström $\mathbb{Z}_{48}$ 值 $\nu$ 不变量来区分这些对 $(K,\varphi)$，我们证明了其奇奇偶性并给出了一个算法公式。此外，我们描述了此类空间上自然的 Yang-Mills 理论，具有无挠情形的许多重要特征，如 Chern-Simons 形式体系和拓扑能量界。事实上，在 $K$ 上的全纯 Sasakian 丛上相容的 $\rm G_2$-瞬子恰好是横向 Hermitian Yang-Mills 联络。作为原理验证，我们从光滑射影 Fermat 五次曲线上的稳定丛得到了 Fermat 五次链环上的 $\rm G_2$-瞬子，从而在一个具体例子中将五次三折叠的 Donaldson-Thomas 理论与猜想的 $\rm G_2$-瞬子计数联系起来。