复向量场的导数增益/损失

在 $\C_z\times\R_t$ 中，考虑函数 $g=g(z)$，令 $g_1=\di_z g$，$g_{1\bar 1}=\di_z\dib_zg$ 并定义算子 $L_g=\di_z+ig_1\di_t$。我们讨论了 Kohn 意义下关于系统 $(\bar L_g,f^kL_g)$ 的导数损失估计，其中 $(\bar L_g,L_g)$ 在 0 点是 $\frac1{2m}$ 次次椭圆的，且 $f(0)=0,\,\,df(0)\neq0$。我们证明了若满足“乘子”条件 $|f|\simgeq |g_{1\bar 1}|^{\frac1{2(m-1)}}$，则存在 $l=\frac{k-1}{2m}$ 的损失。（对于无截断的估计，次椭圆性可减弱为紧性，这将导致 $l=\frac [{2(m-1)}$ 的损失。）对于选择 $(g,f^k)=(|z|^{2m},\bar z^k)$，Kohn 以及 Bove-Derridj-Kohn-Tartakoff 分别针对 $m=1$ 和 $m\geq1$ 获得了该结果。此外，已证明损失 $l=\frac{k-1}{2m}$ 是最优的。我们表明，对于模型 $(g,f^k)=(x^{2m},x^k)$，该最优性依然成立。相反，对于模型 $(g,f^k)=(|z|^{2m},x^k)$，其中乘子条件被违背，损失并未因型（type）而降低，且必须 $\geq \frac{k-1}2$。