G-gerbe、主 2-群丛与特征类

设 $G$ 为李群，$G\to\Aut(G)$ 为由群在其自身上的伴随作用诱导的典范群同态。我们明确描述了以下两者之间的一一对应关系：一方面是李群胚上的主 2-群 $[G\to\Aut(G)]$-丛的 Morita 等价类，另一方面是李群胚的 $G$-扩张（即微分栈上的主 $[G\to\Aut(G)]$-丛与微分栈上的 $G$-gerbe 之间的对应）。该方法还使我们能够识别微分栈上的 $G$-bound gerbe 和 $[Z(G)\to 1]$-群丛，其中 $Z(G)$ 是 $G$ 的中心。我们还引入了 2-群丛的通用特征类。对于群胚中心 $G$-扩张，我们引入了 Dixmier--Douady 类，该类可从推广了丛 gerbe 情形的联络型数据计算得出。我们证明了这些类与通用特征类相一致。作为推论，我们进一步得出 Dixmier--Douady 类是整的。