博伊德猜想与一条导子为21的椭圆曲线的进一步探索

我们证明了 $P(x,y)=x+1/x+y+1/y+3$ 的（对数）马勒测度 $m(P)$ 等于附属于导子为 21 的椭圆曲线 $E:P(x,y)=0$ 的 $L$-值 $2L'(E,0)$。为此，我们研究更一般的洛朗多项式 $P_{a,b,c}(x,y)=a(x+1/x)+b(y+1/y)+c$ 的测度，并表明所求量 $m(P)$ 与 $\tilde P(x,y)=P_{\sqrt{7},1,3}(x,y)$ 的“半马勒”测度相关。最后，我们利用由 Ramanujan 给出的椭圆曲线 $\tilde P(x,y)=0$（同样导子为 21）的模参数化，以及 Mellit--Brunault 关于模单位调节器的公式。