Bang-Zsigmondy 定理和 Feit 定理的函数域类比

在数域背景下，Bang-Zsigmondy 定理指出，对于任意整数 $u, m > 1$，存在 $u^m - 1$ 的一个素因子 $p$，使得对于每个整数 $0 < n < m$，$p$ 不整除 $u^n - 1$，除了一些可以明确确定的例外情况。满足 Bang-Zsigmondy 定理条件的素数 $p$ 称为 $(u, m)$ 的 Zsigmondy 素数。1988 年，Feit 引入了大 Zsigmondy 素数的概念如下：如果 $(u, m)$ 的 Zsigmondy 素数 $p$ 满足 $p > m + 1$ 或 $p^2$ 整除 $u^m - 1$，则称其为大 Zsigmondy 素数。同年，Feit 证明了 Bang-Zsigmondy 定理的一个改进版本，指出对于任意整数 $u, m > 1$，存在 $(u, m)$ 的大 Zsigmondy 素数，除了一些可以明确确定的例外情况。在本文中，我们在 Carlitz 模背景下引入了 Zsigmondy 素数和大 Zsigmondy 素数的概念，并证明了 Bang-Zsigmondy 定理和 Feit 定理的函数域类比。