参数渐变尾流中的波前：缓慢穿越叉式与折叠分岔
动力系统
2022-12-20 v1 偏微分方程分析
斑图形成与孤子
摘要
本研究探讨了在空间中缓慢变化的参数非均匀性下，Allen-Cahn 方程中的波前形成问题。具体而言，我们考虑了一种调节零状态局部稳定性及随后向非平凡状态发生叉式分岔的非均匀性。对于在时间上刚性传播或静止的缓慢变化渐变，我们严格证明了正单调波前的存在性与稳定性，并给出了其界面位置的主阶展开。对于非零渐变速度和足够小的渐变斜率，波前位置由基态的对流不稳定与绝对不稳定之间的局部转换决定，并导致系统跃迁至非平凡状态之前，相对于瞬时叉式位置产生 O(1) 的延迟。缓慢渐变引起了界面的进一步延迟，该延迟由穿过相关线性化的强稳定与弱稳定特征空间的折叠的慢速穿越所控制。我们引入射影坐标以消除平凡状态附近动力学的奇异性，并追踪相关的不变流形直至折叠点。随后，我们使用几何奇异摄动理论和爆破技术来定位不变流形的所需交集。对于静止渐变，波前由穿过瞬时叉式分岔的慢速穿越控制，其内部展开由 Painlevé 第二方程的唯一 Hastings-McLeod 连接解给出。我们再次使用几何奇异摄动理论和爆破技术，将不变流形追踪至渐变穿过零点的非双曲点附近，并定位其交集。
引用
@article{arxiv.2212.09131,
title = {Fronts in the wake of a parameter ramp: slow passage through pitchfork and fold bifurcations},
author = {Ryan Goh and Tasso J. Kaper and Arnd Scheel and Theodore Vo},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.09131},
year = {2022}
}