从热力学与谱相变到多重分形分析

已知所有一致膨胀或双曲动力系统相对于 H"older 连续势都没有相变。在 \cite{BC21} 中证明了,对于圆上所有传递的 $C^{1+\alpha}-$局部微分同胚 $f$,若其既不是一致膨胀映射也不可逆,则相对于几何势有唯一的热力学相变,换言之,拓扑压力函数 $\mathbb{R} \ni t \mapsto P_{top}(f,-t\log|Df|)$ 除在一点 $t_{0} \in (0 , 1]$ 外是解析的。同时还证明了谱相变,换言之,转移算子 $\mathcal{L}_{f,-t\log|Df|}$ 在 H"older 连续函数空间上作用,对所有 $t<t_0$ 具有谱隙性质,而对所有 $t\geq t_0$ 不具有谱隙性质。我们的目标是证明热力学和谱相变的结果蕴含了 Lyapunov 谱的多重分形分析。特别地,我们给出了一类部分双曲满射,它们相对于几何势承认热力学和谱相变,并描述了其中心 Lyapunov 谱的多重分形分析。