圆周上局部微分同胚的热力学与谱相变

众所周知，所有一致扩张动力系统关于 Hölder 连续势都没有相变。在本文中，我们证明：给定圆周上的一个局部微分同胚 $f$，若其既不是一致扩张动力系统也不可逆，则拓扑压力函数 $\mathbb{R} \ni t \mapsto P_{top}(f , -t\log |Df|)$ 不是解析的。换言之，$f$ 关于几何势具有热力学相变。假设 $f$ 是传递的且 $Df$ 是 Hölder 连续的，我们证明存在 $t_{0} \in (0 , 1]$ 使得转移算子 $\mathcal{L}_{f, -t\log|Df|}$ 在 Hölder 连续函数空间上对所有 $t < t_{0}$ 具有谱隙性质，而对所有 $t \geq t_{0}$ 不具有谱隙性质。当转移算子作用于有界变差函数空间和光滑函数空间时，也获得了类似结果。特别地，我们证明在传递情形下 $f$ 有唯一的热力学相变且发生在 $t_{0}$。此外，若动力系统扩张性的丧失是由一个中性不动点引起，或该动力系统容许一个具有正 Lyapunov 指数的绝对连续不变概率，则 $t_0 = 1$。