从 Tsarev 系统的解到 Whitham 方程的解

我们研究 Whitham 调制方程在单调增光滑初值下的 Cauchy 问题。Whitham 方程是一组一维拟线性双曲系统。该组系统由对应超椭圆 Riemann 面的亏格 g=0,1,2,... 所枚举。其中每个系统均可通过 Tsarev 引入的所谓速端变换积分。积分过程中的关键一步是求解 Tsarev 线性超定系统。对于每个 $g>0$，我们构造了 Tsarev 系统的唯一解，该解在过渡边界上与亏格 $g+1$ 和 $g-1$ 的解相匹配。接着我们刻画了 such 初值：使得 Whitham 方程的解对所有实数 $t\geq 0$ 和 $x$ 具有亏格 $g\leq N$，$N>0$。