巴拿赫空间中的弗罗贝尼乌斯定理及小扰动下算子的广义逆分析方法

设 $\Lambda$ 为巴拿赫空间 $E$ 中的开集，对 $x\in \Lambda$，$M(x)$ 为 $E$ 中的子空间，$x_0$ 为 $\Lambda$ 中一点。我们考虑族 $\mathcal{F}=\{M(x):\forall x\in\Lambda\}$，但 $M(x)$ 的维数可为无穷，并研究 $\mathcal{F}$ 在 $x_0$ 处 $c^1$ 可积的充要条件。若无新思路与方法，难以将欧氏空间中的经典弗罗贝尼乌斯定理推广至无穷维 $M (x)$ 情形。我们首先定义 $\mathcal{F}$ 在 $x_0$ 处的同尾集 $J (x_0, E_ *)$，使得对 $J (x_0, E_ *)$ 中每个 $x$，$M (x)$ 在 $B(M (x_0), E_*)$ 中有唯一的算子值坐标 $\alpha(x)$，并证明若 $\mathcal{F}$ 在 $x_0$ 处可积，则 $J (x_0, E_ *)$ 必包含 $\mathcal{F}$ 在 $x_0$ 处的可积子流形。进而给出所求充要条件，即巴拿赫空间中的弗罗贝尼乌斯定理。众所周知，经典弗罗贝尼乌斯定理是微分拓扑、微分几何、微分方程等领域的重要基础定理，但它们均局限于所有 $\mbox{dim}M(x)< \infty$ 的情形。现在可将以往研究推广至 $\mbox{dim} M(x)=\infty$ 的情形。利用小扰动下算子的广义逆分析方法，我们不仅证明了弗罗贝尼乌斯定理，还给出了其在具几何意义的微分方程初值问题、全局分析以及巴拿赫空间中子流形约束下的极值原理等方面的一些应用。尤其在无穷维几何与泛函分析领域，这些研究似属新结果，且尚处初步阶段。