$\mathbb{Z}_{N}$随机子集的Freiman同态

设$A$为$\mathbb{Z}_{N}$的随机子集，其生成方式是将$\mathbb{Z}_{N}$中的每个元素以概率$p$独立地包含在$A$中。如果唯一的Freiman同态由形如$f(x)= ax+b$的函数的限制给出，我们则称$A$是\emph{线性的}。当$N\to\infty$时，$p$取何值能使$A$以高概率为线性的？首先，我们建立了线性子集的几何刻画。其次，我们证明了如果$p=o(N^{-2/3})$，则$A$以高概率不是线性的；而对于任意$\epsilon>0$，如果$p=N^{-1/2+\epsilon}$，则$A$以高概率是线性的。