当不存在奇偶函数时，我们能多接近它？
组合数学
2010-05-27 v1 计算复杂性
群论
表示论
摘要
考虑一个群G，使得不存在同态f:G→{+1,-1}。在这种情况下，我们能多接近这样一个同态？我们证明，如果f的期望为零，那么f(xy)=f(x)f(y)的概率（其中x,y从G中均匀独立选取）至多为1/2(1+1/√d)，其中d是G的最小非平凡不可约表示的维数。例如，对于交错群A_n，d=n-1。另一方面，A_n包含一个同构于S_{n-2}的子群，我们可以扩展其奇偶函数得到一个f，使得该概率为1/2(1+1/ₙC₂)。因此，f比从A_n到{+1,-1}的随机函数“更同态”的程度介于O(n^{-1/2})和Ω(n^{-2})之间。
引用
@article{arxiv.1005.4897,
title = {How close can we come to a parity function when there isn't one?},
author = {Cristopher Moore and Alexander Russell},
journal= {arXiv preprint arXiv:1005.4897},
year = {2010}
}