自由 Stein 核、自由矩映射与高阶导数

本工作中，我们描述了自由 Stein 核的新构造。首先，在一维情形，我们提出一种自由类比于利用矩映射构造 Stein 核的方法，类似于 Fathi 所提出的那种。这对于一类称为自由矩测度的测度将是可能的，通过自由矩映射（凸函数）的概念，该概念在自由情形由 Bahr 和 Boschert 引入。其次，我们引入相对于一个势的高阶自由 Stein 核的概念，可视为 Fathi 在经典情形引入的近期强大思想的自由对应，并通过引入测试函数（在我们的情形为非交换多项式）的高阶导数推广了自由 Stein 核的概念。随后我们将注意力集中于同位相似半圆势的情形。我们如同经典情形证明，其存在性蕴含矩约束。最后，我们将这些差异与各种度量相关联：自由（二次）Wasserstein 距离、沿 Ornstein-Uhlenbeck 流的相对自由 Fisher 信息或相对非微态自由熵。最后，作为一个重要应用，我们给出了在更高矩约束下熵自由中心极限定理中新的收敛速率。