自由概率方法论：罗森韦尔-波特纳随机矩阵ensemble的谱与算子统计

运用自由概率框架，我们分析了罗森韦尔-波特纳随机矩阵ensemble的谱与算子统计，这类ensemble呈现丰富的相结构，包括ergodic、fractal和localized三个阶段。借助亚调控公式，我们构建了一种 perturbative方案，给出系统尺寸至二阶的态密度半解析表达式，与数值结果良好一致。我们使用数值方法和合适的解析近似计算了ergodic阶段的高阶关联函数。对各种自旋算子在这些阶段的算子统计进行分析，发现即使在晚期时间，fractal和localized阶段仍与自由概率预测存在持续偏差，而ergodic阶段则与自由概率预测高度吻合。值得注意的是，fractal阶段表现出部分自由性，同时保留了初始谱的记忆，这凸显了非局域本征态及其与累积超时序关联函数（OTOC）晚期动力学的重要性。通过采用距离度量和统计工具，如$\chi^2$统计量、KL散度和Kolmogorov-Smirnov假设检验，我们定义了特征时间尺度——自由时间——标志着自由概率预测对算子谱统计有效性在ergodic阶段开始生效。令人惊讶的是，我们的发现在不同方法之间保持一致。