自由多幂零群与 Magnus 性质

受自由群经典结果的启发，若群 $G$ 满足如下条件则称其具有 Magnus 性质：每当两个元素生成 $G$ 的同一正规子群时，它们在 $G$ 中共轭或逆共轭。找出哪些相对自由群具有 Magnus 性质是一个自然的问题。我们证明，任意给定类行的自由多幂零群具有 Magnus 性质当且仅当它是类至多为 $2$ 的幂零群。为此，我们更一般地在可解群中探究 Magnus 性质，并给出了建立和否定该性质的新技术。我们还证明，自由中心乘（给定类行的多幂零）群具有 Magnus 性质当且仅当它是类至多为 $2$ 的幂零群。在此过程中，我们给出了具有 Magnus 性质的任意指定幂零类的 $2$-生成幂零群（含非平凡挠）的例子。具有类似性质的有限生成无挠幂零群很难构造，但我们构建了一个具有 Magnus 性质的 $4$-生成、无挠、类-$3$ 幂零群，其 Hirsch 长度为 $9$。此外，利用 Magnus 性质的弱变体和超积构造，我们证明了具有任意指定幂零类的无挠亚交换幂零群的存在性。