自由代数的自由极限

考虑代数系统的图表 $\cdots \to F_3 \to F_2\to F_1$，其中 $F_n$ 表示含 $n$ 个生成元的自由对象，连接映射将额外生成元映至某个特定的平凡元。我们证明：(a) 若 $F_i$ 是固定域上的自由结合代数，则在分次代数范畴中的极限再次是某组齐次生成元上的自由对象；(b) 另一方面，在（非分次）结合代数范畴中的极限是某组齐次元上的自由形式幂级数代数；且 (c) 若 $F_i$ 是自由李代数，则在分次李代数范畴中的极限再次是自由的。