部分几何及相关相干构型的框架数与雅各布森根

我们研究了由参数为 $(s,t,\alpha)$ 的部分几何产生的秩 $3$ 结合方案的模表示论。首先，我们获得了点方案的框架数的一个显式闭式公式，该公式用点数 $v$ 和参数 $s+t+1-\alpha$ 表示，并用它来刻画使得 $\mathbb{F}_p$ 上的邻接代数非半单的素数 $p$。然后，我们在四种算术情形下给出了该代数的雅各布森根的完整逐例描述，并确定了邻接矩阵的通用 $p$-秩。作为理解与强正则设计相关的类型 $[3,2;3]$ 的相干构型的模表示论的一步，我们分析了点方案的模结构与设计代数的模结构之间的关系。对于广义四边形 $\mathrm{GQ}(2,2)$，我们获得了关于 $2$-模邻接代数 $\mathbb{F}_2 \mathfrak{X}$ 结构的部分结果，并解释了阻碍完全确定其 Wedderburn 分解和 Gabriel 箭图的表示论困难，这仍然是一个开放问题，并作为问题 6.8 提出。