基于非交换秩的分数线性拟阵奇偶性的代数算法
最优化与控制
2024-10-18 v2 离散数学
摘要
矩阵表示是为匹配、线性拟阵交与拟阵奇偶性等组合优化问题设计高效算法的有力工具。本文利用近期在 Edmonds 问题研究中受到关注的非交换秩（nc-rank）概念，开启矩阵表示的研究。我们揭示线性拟阵奇偶性矩阵表示的 nc-rank 对应于分数线性拟阵奇偶性（线性拟阵奇偶性的半整数松弛）的最优值。基于我们的表示，通过构建将搜索到判定归约纳入由 nc-rank 表示的半整数问题的新技术，给出了分数线性拟阵奇偶性问题的代数算法。我们进一步给出用于寻找最大分数拟阵匹配的更快的分治算法，以及寻找对偶最优解的代数算法。它们共同导出了加权分数线性拟阵奇偶性问题的代数算法。我们的算法比现有算法显著更简单且更快。
引用
@article{arxiv.2207.07946,
title = {Algebraic Algorithms for Fractional Linear Matroid Parity via Non-commutative Rank},
author = {Taihei Oki and Tasuku Soma},
journal= {arXiv preprint arXiv:2207.07946},
year = {2024}
}