Wasserstein 空间上的分数 Sobolev 路径及其能量最小化粒子表示

我们研究了 Monge--Kantorovich 最优传输问题的一个推广。给定一族随时间变化的概率测度 $(\mu_t)$，我们旨在寻找，在所有路径连续的随机过程中（其中一个维数的边际与 $(\mu_t)$ 相同，如有），一个能最小化给定能量的过程。在讨论能量确保存在最小化过程的充分条件后，我们研究分数 Sobolev 能量。给定一个在 $p$-Wasserstein 空间上具有分数 Sobolev 正则性 $W^{\alpha,p}$ 的确定性路径 $(\mu_t)$，其中 $1/p < \alpha < 1$，我们提供条件，证明存在能最小化能量的过程，并构造一个实现 $(\mu_t)$ 正则性的过程。虽然 Wasserstein 空间上低正则性的连续路径在随机分析中自然出现，但它们也可作为连续方程的解确定性地出现。本文致力于确定性设置，以获得所需条件的某种理解。后续的随笔文章（arXiv:2503.10859）聚焦于随机设置及其对 SPDE 的应用。