三元与四元形式的本征判别式公式

一个格式为 $n\times n\times \cdots \times n$ 的 $d$ 维张量 $A$ 自然定义了一个从射影空间 $\mathbb{P}^{n-1}$ 到自身的有理映射 $\Psi$，其本征概型即为 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中 $\Psi$ 的不动点子概型。本征判别式是 $A$ 的系数中的一个不可约多项式，对于给定的张量，当且仅当其本征概型奇异时该多项式为零。在本文中，我们给出了在 $n=3$ 和 $n=4$ 情形下计算本征判别式的两个公式。特别地，通过限制到对称张量，我们得到了 $\mathbb{P}^3$ 中平面曲线与曲面的本征判别式的闭式公式，作为某些结式矩阵行列式之比。