对称关联方案的形式自双关与数值自双关

设 ${\mathcal X} = (X, \{R_i\}_{i=0}^d)$ 表示一个对称关联方案。固定 $\{E_i\}_{i=0}^d$ 为 $\mathcal{X}$ 原始幂等矩阵的排序，记 $P$（或 $Q$）为 $\mathcal{X}$ 对应的第一特征矩阵（或第二特征矩阵）。当 $P=Q$ 时，称方案 $\mathcal{X}$ 相对于排序 $\{E_i\}_{i=0}^d$ 为形式自双关。我们定义 $\mathcal{X}$ 相对于排序 $\{E_i\}_{i=0}^d$ 为数值自双关，当且仅当交叉数和克莱因参数满足 $p^h_{i,j} =q^h_{i,j}$ 对所有 $0 \leq h,i,j \leq d$ 成立。已知在 $\{E_i\}_{i=0}^d$ 的排序下，形式自双关蕴含数值自双关。这引出以下问题：在 $\{E_i\}_{i=0}^d 的排序下，是否存在方案既数值自双关又非形式自双关？本文将证明这可能性成立。我们展示了一个对称关联方案及其原始幂等矩阵的排序，使得该方案在该排序下为数值自双关但非形式自双关。我们还关于自双关性作出额外结果。若$\mathcal{X}$为$P$-多项式，则下列三者等价：(i)$\mathcal{X}$相对于$\{E_i\}_{i=0}^d$的排序为形式自双关；(ii)$\mathcal{X}$相对于$\{E_i\}_{i=0}^d$的排序为数值自双关。若排序$\{E_i\}_{i=0}^d$为$Q$-多项式，则下列三者等价：(i)$\mathcal{X}$相对于$\{E_i\}_{i=0}^d$的排序为形式自双关；(ii)$\mathcal{X}$相对于$\{E_i\}_{i=0}^d$ 的排序为数值自双关。