平面高斯场游程集数量的涨落

对于一个光滑、平稳的平面高斯场，我们考虑其包含在面积为 $R^2$ 的大正方形内的游程集（或水平集）的连通分支数量。已知对于一般场和所有水平，分支的平均数量为 $R^2$ 阶。我们证明对于某些在原点附近具有正谱密度的场（包括Bargmann-Fock场）以及某些水平 $\ell$，这些随机变量具有至少 $R$ 阶的涨落，从而方差至少为 $R^2$ 阶。特别地，当 $\ell$ 在零的某邻域内时，这适用于游程集；当 $\ell$ 足够大时，这适用于游程/水平集。我们证明了在谱密度于原点有奇点的情况下更强的 $R^\alpha$ 阶涨落下界，$\alpha \in [1,2]$。最后，我们证明随机平面波在某些水平下的游程/水平集数量具有至少 $R^{3/2}$ 阶的涨落，从而方差至少为 $R^3$ 阶。我们预期这些界是正确的阶，至少对一般水平而言。