一类具有奇异饱和非线性的阻尼 Schrödinger 方程的有限时间熄灭

对于一类阻尼非线性 Schrödinger 方程，当非线性阻尼项对应于某些“饱和非 Kerr 定律”$F(|u|^2)u=\frac{a}{\varepsilon+(|u|^2)^\alpha}u,$（其中 $a\in\mathbb{C},$ $\varepsilon\geqslant0,$ $2\alpha=(1-m)$ 且 $m\in[0,1)$）的极限情形时，我们给出了其解的一些更精确的有限熄灭时间结果。为了改进文献中的已有结果，本文在非常一般的数据假设下，对弱解的存在性与正则性进行了仔细的修订。我们证明了，即使在阻尼项缺乏正则性的情况下，该问题仍可在极大单调算子理论的非常一般的框架下求解。这使我们能够考虑 $m=0$ 的奇异情形等多种情况。我们用一种不同的逼近替换了上述阻尼项的逼近，该逼近对任意 $\varepsilon\geqslant0$ 均保持单调性。我们证明，当 $m=0$ 时，即使右侧数据 $f(t,x)$ 仅仅是有界的，解的有限熄灭时间也会出现。这在 Schrödinger 方程与其他满足附加方程的函数相耦合的应用中尤为有用。