二元随机过程的有限尺寸标度分析及信息级联相变的普适类

我们提出了一种基于自相关函数 $C(t)$ 的二阶矩关联长度 $\xi$ 的二元随机过程 $X(t)\in \{0,1\}$ 的有限尺寸标度分析。其目的是阐明临界特性并为信息级联提供一种新的数据分析方法。作为一个模拟信息级联实验中主体不同行为的简单模型，我们假设 $X(t)$ 是一个混合变量：一部分是以概率 $q$ 取 1 的独立随机变量，另一部分是依赖于最近 $r$ 个变量中取 1 的比例 $z$ 的随机变量。我们考虑后者取 1 的两种概率函数 $f(z)$：(i) 模拟型 [$f(z)=z$] 和 (ii) 数字型 [$f(z)=\theta(z-1/2)$]。我们研究了 $\xi$ 和积分关联时间 $\tau$ 的标度普适函数。对于有限的 $r$，$C(t)$ 作为 $t$ 的函数呈指数衰减，且仅存在一个稳定的重正化群 (RG) 不动点。在 $r\to \infty$ 的极限下（此时 $X(t)$ 依赖于所有先前的变量），模型 (i) 中的 $C(t)$ 服从幂律，系统变得具有标度不变性。在 $q\neq 1/2$ 的模型 (ii) 中，存在两个稳定的 RG 不动点，分别对应于具有临界指数 $\beta=1$ 和 $\nu_{||}=2$ 的信息级联相变的有序相和无序相。