渐近标度理论及其在 percolation 中的应用

临界相变（$t=0$）的有限尺度标度（FSS）指出，在线性尺寸为 $L$ 的系统中，在大小为 $|t|\sim L^{-1/\nu}$ 的窗口内，任意可观测量 $Q$ 的标度行为渐近地遵循标度形式 $Q(t,L)=L^{Y_Q}\tilde{Q}(tL^{1/\nu})$，其中 $\nu$ 为关联长度幂律指数，$Y_Q$ 为FSS指数，${\tilde Q}(x)$ 为以缩放后的临界距离 $x \equiv tL^{1/\nu}$ 为变量的函数。我们系统研究了 ${\tilde Q}(|x|\to\infty)$ 在广泛可观测量上的渐近标度行为，通过要求FSS与无限系统临界行为在交叉临界 regime 中 ($t \to 0$ 和 $|x|\to\infty$) 相互匹配来实现。该交叉FSS理论预测，当临界性以速度 $|t|\sim L^{-\lambda}$ 且 $\lambda <1/\nu$ 方式逼近时，FSS变为$\lambda$ 相关，幂指数可被推导。作为应用，考虑了爆炸型percolation和高维percolation。对于前者，表明在无限系统临界点 $t=0$ 处观察到的异常现象可归因于事件基准集合中标准FSS行为的混合效应。对于后者，在采用自由边界条件时，发现无限系统临界和伪临界点的FSS指数不同，并且通过交叉FSS理论将二者联系起来。从这些观察结果可见，percolation系统的FSS可归为三类。进行大规模模拟以确认这些预测。