随机矩阵理论中的有限尺寸修正与黎曼零点的 Odlyzko 数据集

Odlyzko 计算了一个数据集，列出了超过 $10^9$ 个连续的黎曼零点，起始零点编号超过 $10^{23}$。该数据集与随机矩阵理论相关，因为根据 Montgomery-Odlyzko 定律，大黎曼零点的统计性质与大型随机厄米矩阵特征值的统计性质一致。此外，Keating 和 Snaith，以及后来的 Bogomolny 及其合作者，使用 $N \times N$ 随机酉矩阵来分析对此定律的偏离。我们从两方面推进了这一研究路线。首先，我们指出应用于该数据集的一个自然过程是通过以某指定概率独立删除每个成员来稀释它，并进而在此情形下计算经验两点相关函数和最近邻间距。其次，我们展示了如何借助系数均为 Painlevé 超越函数的二阶微分方程来刻画随机酉矩阵间距分布的 $1/N^2$ 阶修正项，其中稀释参数仅出现在边界条件中。该方程可使用幂级数方法数值求解。与黎曼零点数据的比较显示出精确的一致。