复杂度理论视角下容量可达码的有限分组长度性能

自Polyanskiy、Poor和Verdú关于离散无记忆信道容量可达码的有限分组长度性能的研究以来，许多论文试图为更实际的信道找到进一步的结果。然而，计算容量可达码的复杂度似乎至今未被研究。我们针对最简单的非平凡高斯信道，即加性有色高斯噪声信道，研究这一问题。为了评估计算复杂度，我们考虑类$\mathrm{FP}_1$和$\#\mathrm{P}_1$。$\mathrm{FP}_1$包含由确定性图灵机在多项式时间内可计算的函数，而$\#\mathrm{P}_1$包含对可在多项式时间内验证的解的数量进行计数的函数。普遍认为$\mathrm{FP}_1\neq\#\mathrm{P}_1$。确定在何种条件下，对于给定的$M \in \mathbb{N}$（其中$M$描述$C(P,N)$偏差的精度），对于某个分组长度$n_M$和译码错误$\epsilon > 0$（$\epsilon\in\mathbb{Q}$），以下条件成立：$R_{n_M}(\epsilon)>C(P,N)-\frac{1}{2^M}$。结果表明，存在一个多项式时间可计算的$N_*$，使得对于足够大的$P_*\in\mathbb{Q}$，序列$\{R_{n_M}(\epsilon)\}_{{n_M}\in\mathbb{N}}$（其中每个$R_{n_M}(\epsilon)$满足前述条件）在$\mathrm{FP}_1\neq\#\mathrm{P}_1$时不能在多项式时间内计算。因此，随着$M$增加，计算序列$\{R_{n_M}(\epsilon)\}_{n_M\in\mathbb{N}}$的复杂度增长快于任何多项式。由此证明，要么作为分组长度函数的可达速率序列$\{R_{n_M}(\epsilon)\}_{n_M\in\mathbb{N}}$，要么与可达速率对应的分组长度序列$\{n_M\}_{M\in\mathbb{N}}$，不是多项式时间可计算的序列。