通信数学理论的复杂度与二阶矩

纠错码的性能由其错误概率、码率以及编/译码复杂度来评价。一系列码的性能则通过以下方面评价：当块长度趋于无穷时，其错误概率是否衰减至零，其码率是否收敛至容量，以及其复杂度的增长是否可控。在任何离散无记忆信道上，我构建了如下码： (1) 其错误概率和码率随随机码缩放； (2) 其编/译码复杂度随极化码缩放。定量地，对于任意常数 $p,r>0$ 满足 $p+2r<1$，我构造了一系列块长度 $N$ 趋于无穷的码，其错误概率为 $\exp(-N^p)$，码率比容量小 $N^{-r}$，且每块的编/译码复杂度为 $O(N\log N)$。在任何离散无记忆信道上，我还构建了如下码： (1) 它们快速达到容量； (2) 其编/译码复杂度优于非 BEC 信道上所有已知码。定量地，对于任意常数 $t,r>0$ 满足 $2r<1$，我构造了一系列块长度 $N$ 趋于无穷的码，其错误概率为 $\exp(-(\log N)^t)$，码率比容量小 $N^{-r}$，且每块的编/译码复杂度为 $O(N\log(\log N))$。上述两个结果建立在两大支柱之上：一个基于信道极化生成码的通用框架，以及一个评估码性能的概率微积分机制。生成码的框架与评估码的机制可推广到网络信息论中的许多其他场景。仅举数例：无损压缩、有损压缩、Slepian-Wolf、Wyner-Ziv、多址信道、窃听信道和广播信道。在各场景中，错误概率和码率的适配概念以与上述相同的速度逼近其极限。