Polar Codes：极化速度与容量多项式间隙

我们证明，对于所有二进制输入对称无记忆信道，Polar Codes 能够以在 Shannon 容量 $\epsilon > 0$ 范围内的速率实现可靠通信，且其块长度、构造复杂度与译码复杂度均以 $1/\epsilon$ 的多项式为界。Polar Coding 给出了已知首个具备所有这些性质严格证明的显式构造；除擦除信道外，先前已知的构造未能以低于 $\exp(1/\epsilon)$ 的译码复杂度达到容量。我们通过对条件熵底层鞅的直接分析，确立了 Polar Codes 的达容量性质，而未依赖鞅收敛定理。该步骤给出了粗略极化（“好”信道的噪声水平 $\approx \epsilon$），随后可通过追踪信道 Bhattacharyya 参数的衰减予以充分放大。我们的有效界意味着 Polar Codes 的块长度（及编码/译码复杂度）可以 $1/\epsilon$ 的多项式为界。此类 Polar Codes 的生成矩阵可通过算法计算极化过程的适当近似，在多项式时间内构造完成。