一般强极化

Arikan 对极化码令人振奋的发现提供了一种实现香农容量的全新高效途径。给定一个（常数大小的）可逆矩阵 $M$，可将该矩阵与一族极化码相关联，其逼近容量的能力源于一个关联的 $[0,1]$ 有界鞅的{\em 极化}，即该鞅在极限下收敛到 $0$ 或 $1$。Arikan 证明了与矩阵 $G_2 = \left(\begin{matrix} 1& 0\\ 1& 1\end{matrix}\right)$ 相关联的鞅的极化，从而得到逼近容量的码。他的分析后来被推广到所有满足极化显然必要条件的矩阵 $M$。尽管 Arikan 的定理不能保证这些码在较小块长度下达到容量，但事实表明，对底层鞅的“强”极化分析将带来此类构造。确实，对于与 $G_2$ 相关联的鞅，两项独立工作（[Guruswami and Xia, IEEE IT '15] 和 [Hassani et al., IEEE IT '14]）给出了这种强极化，解决了高效实现香农容量的重大理论挑战。在本工作中，我们将上述结果推广到覆盖所有满足（弱）极化必要条件的矩阵所关联的鞅。除了极为一般化之外，我们对强极化的证明也更简单和模块化。具体而言，我们的结果展示了在所有素域上的强极化，并带来了针对任意对称无记忆信道的高效容量逼近码。我们展示了如何利用我们的分析，在长度与容量间隙呈反多项式关系时实现指数级小的错误概率。事实上，我们表明基本上可以用仅与容量间隙呈反多项式关系的长度匹配任意错误概率。