以有限项求任意阶有理 ODE 的 Liouvillian 首次积分

由 Mordukhai-Boltovski、Ritt、Prelle、Singer、Christopher 等人可知,若给定有理 ODE 具有 Liouvillian 首次积分,则该 ODE 的相应积分因子必呈不可约多项式的幂与指数的乘积这一非常特殊的形式。这些结果引出了求 Liouvillian 首次积分的部分算法。然而,在获得积分因子形式中的多项式方面存在两个主要困难。首先,必须对上述乘积中多项式的次数给出上界(一个未解决的问题),然后以计算密集的待定参数法确定每个多项式的系数集合。结果,此方法仅在 CAS 中针对一阶及相对简单的二阶 ODE 实现。我们提出一种代数方法,用于求任意阶有理 ODE 积分因子的多项式,其基于考察此类方程右端分子与分母中多项式的结式。若此类 ODE 右端的分子与分母均非常数,则该法能以有限项确定积分因子的显式表达式(若该 ODE 允许上述形式的积分因子),进而得到 Liouvillian 首次积分。基于所提方法、在 Maple 中以有理积分因子情形实现的该程序测试,证实了方法的一致性与高效性。