斗鱼：计数性质

斗鱼是作者近期引入的一种组合结构，由正方形瓦片构成，形成二维分支曲面。这些斗鱼的一个主要特征是，大小为 n 的一致随机斗鱼的面积按 n^{5/4} 缩放，这与它们所推广的阶梯状或直接凸多联骨牌的典型 n^{3/2} 面积行为相反。在这篇扩展摘要中，我们专注于斗鱼的计数性质：特别地，我们提供了一种新的分解，并证明了具有 i 个左下自由边和 j 个右下自由边的斗鱼数量等于 \begin{equation*} \frac{(2i+j-2)!(2j+i-2)!}{i!j!(2i-1)!(2j-1)!}. \end{equation*} 已知这些数可用于计数具有 i+1 个顶点和 j+1 个面的有根平面不可分地图，或关于上升和下降游程的两栈可排序排列，或关于具有偶数和奇数横坐标顶点的左三元树。然而，我们至今未能提供斗鱼与这些结构之间的任何显式双射。取而代之，我们提供了左三元树的新细化生成级数，以证明进一步的等分布结果。