Tamari 区间与扩展斗鱼之间的双射

我们引入扩展斗鱼作为分支曲面，也可视为由简单重写规则定义的四分之一平面中的行走。我们在文中呈现的主要结果是扩展斗鱼与 Tamari 格区间之间的直接双射，该双射交换多个自然统计量。该模型包含了近期引入的（Duchi, Guerrini, Rinaldi, Schaeffer 2017）斗鱼，后者已被证明与同步 Tamari 区间等数量。利用扩展斗鱼的表面/行走对偶视角，我们表明这些斗鱼上的面积统计量对应于 Tamari 区间中的距离统计量（或链的最大长度）。我们还表明，大小为 $n$ 的均匀随机扩展斗鱼的平均面积，以及因此大小为 $n$ 的 Tamari 区间集合上的平均距离，其阶为 $n^{5/4}$，这与斗鱼类子类的早期结果一致。