斐波那契数与二次方程求根法用于有理二次范德瓦尔方程

我们研究二次范德瓦尔方程 $\displaystyle{\tfrac{a+1}{b} + \tfrac{b+1}{a} \ = \ k}$，其中 $k$ 为整数。运用二次方程求根法，我们完全分类了所有正整数配对 $(a, \, b)$。我们证明，相关整数值 $k$ 只能为 $3$ 或 $4$。相应的解对 $(a,\,b)$ 与经典斐波那契数有关。作为结果，量 $\frac{a+b}{\gcd(a, \,b)^2}$ 仅取值 $1, \, 2, \, 3$ 和 $5$。这揭示了简单有理二次范德瓦尔条件、二次方程求根法与斐波那契数之间的意想不到的联系。