生育多胞形

我们将离散凸性理论与多面体几何中的工具引入 West 的栈排序映射 $s$ 的理论。与每个排列 $\pi$ 相关联的是一个特定的整数合成集合 $\mathcal V(\pi)$，它出现在 $\pi$ 的生育力（fertility，定义为 $|s^{-1}(\pi)|$）的公式中。这些合成也显著地出现在涉及称为 troupes 的着色二叉平面树族的更一般公式，以及非交换概率论中将自由累积量转换为经典累积量的公式中。我们证明当 $\mathcal V(\pi)$ 非空时，它是一个横截离散多拟阵（transversal discrete polymatroid）。我们将 $\pi$ 的生育多胞形（fertilitope）定义为 $\mathcal V(\pi)$ 的凸包，并证明了一个令人惊讶的简单刻画：生育多胞形是源自满二叉平面树的巢状多面体（nestohedra）。利用关于巢状多面体的已知事实，我们提供了一种借助 Bousquet-Mélou 的 $\pi$ 的规范树（canonical tree）概念直接从 $\pi$ 描述生育多胞形结构的步骤。作为副产品，我们获得了一个用我们称为拟规范树（quasicanonical trees）的规范树推广来表示的新组合累积量转换公式。我们还将关于生育多胞形的结果应用于研究栈排序映射的组合性质。特别地，我们证明生育数（fertility numbers）集合的密度为 $1$，并确定了大小不超过 $126$ 的所有不育数（infertility numbers）。最后，我们用巢状多面体重新表述了 $\sum_{\sigma\in s^{-1}(\pi)}x^{\text{des}(\sigma)+1}$ 总是实根的猜想，并提出了这一新版本猜想可自然扩展的方式。