扩展巢面体及其面数

巢面体是一类凸多胞体，包含置换多面体、结合多面体和图结合多面体。本文研究此类多胞体的一种扩展，称为扩展巢面体。我们证明这些对象确实是简单多胞体的边界，回答了 Lam 和 Pylyavskyy 的一个问题。我们还研究了（扩展）巢面体的对偶，给出了扩展巢面体对偶之间同构（作为单纯复形）的完整刻画，以及巢面体与扩展巢面体对偶之间同构的部分刻画。此外，我们给出了它们的 $f$-、$h$- 和 $\gamma$-向量的公式。这包括证明与森林 $F$ 对应的扩展巢面体的 $f$-向量与对应于 $F$ 的线图的巢面体的 $f$-向量相同，以及证明所有旗扩展巢面体具有非负 $\gamma$-向量，从而证明了一大类旗简单多胞体的 Gal 猜想。我们还将巢面体与扩展巢面体的 $f$- 和 $h$-向量联系起来，并针对某类旗扩展巢面体给出了用下降统计量表示的 $h$- 和 $\gamma$-向量的显式公式。最后，我们在部分排列上定义了一种偏序，它是对称群上弱 Bruhat 序的商连接半格，并且该偏序的任意线性扩张都给出星形体对偶的一个剖分。