用编码理论方法研究素数阶射影平面唯一性猜想

一个著名的民间猜想断言,对于任意素数 $p$,在同构意义下,域 $\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上的射影平面 $PG(2,\mathbb{F}_p)$ 是唯一的 $p$ 阶射影平面。设 $\pi$ 为任意 $p$ 阶射影平面。对任意偏线性空间 ${\cal X}$,定义包含数 $i({\cal X},\pi)$ 为 $\pi$ 中 ${\cal X}$ 的同构拷贝的个数。在本文中我们证明,若 ${\cal X}$ 至多具有 $\log_2 p$ 条直线,则 $i({\cal X},\pi)$ 可写为 $\pi$ 的 $p$ 元码的完整重量枚举子(c.w.e.)的系数之显式有理线性组合(仅依赖于 ${\cal X}$ 和 $p$)。因此,该码的 c.w.e. 携带了关于 $\pi$ 的大量结构信息。由此表明,若 $p > 2^9=512$,且 $\pi$ 与 $PG(2,\mathbb{F}_p)$ 具有相同的 c.w.e.,则 $\pi$ 必同构于 $PG(2,\mathbb{F}_p)$。从而,该唯一性猜想可通过深入研究素数阶假定射影平面的码的可能 c.w.e. 来推进。