复制几何上的费米子与 $\Theta$-$\theta$ 关系

在 arXiv:1706:09426 中，我们猜想并提供了证据，证明亏格为 $n$ 的特殊黎曼曲面的 Siegel $\Theta$ 常数与 Jacobi $\theta$ 函数的乘积之间存在一个恒等式。这是通过比较在有限温度下计算自由费米子第 $n$ 个 Renyi 熵的两种不同方法得出的。在此我们证明，对于 $n=2$，该恒等式是 Fay 关于双分支黎曼曲面旧结果的一个推论。对于 $n>2$，我们对该恒等式两边的某些零点进行了详细匹配。这构成了 $n=2$ 时该恒等式的一个初等证明，而对于 $n\ge 3$，它提供了新的证据。我们解释了为什么额外零点的存在使得一般性证明变得困难。