Feigin-Frenkel-Hernandez Opers 与 QQ 系统

本文代表了我们对广义量子 Drinfeld-Sokolov 模型的 ODE/IM 对应研究的完成。我们提出了一个统一且通用的数学理论，涵盖了我们已经处理过的所有特定情况，并填补了 ODE/IM 对应文献中重要的解析和代数空白。对于每一个仿射李代数 $\mathfrak{g}$——其 Langlands 对偶 $\mathfrak{g}'$ 是一个单李代数的无扭曲仿射化——我们研究了一类由 Feigin、Frenkel 和 Hernandez 引入的仿射扭曲抛物线 Miura $\mathfrak{g}$-opers。Feigin-Frenkel-Hernandez opers 通过固定在 $0$ 和 $\infty$ 处的奇点结构，并允许有限数量的具有平凡单值性的附加奇点项来定义。我们定义了这些 opers 的中心连接矩阵和 Stokes 矩阵，并证明了前者的系数满足量子 $\mathfrak{g}'$-Drinfeld-Sokolov（或量子 $\mathfrak{g}'$-KdV）模型的 $QQ$ 系统。如果 $\mathfrak{g}$ 是无扭曲的，已知平凡单值性条件等价于附加奇点的一个完备代数方程组。我们在 $\mathfrak{g}$ 是扭曲的情况下证明了一个令人惊讶的负面结果：在这种情况下，平凡单值性条件没有非平凡解。