Feckly Adequate 条件与初等矩阵化简

我们提出了 B$\acute{e}$zout 环成为初等除子环的一些新条件。在本注记中，我们证明：B$\acute{e}$zout 环 $R$ 是 feckly zero-adequate 的，当且仅当 $R/J(R)$ 是正则的，当且仅当 $R/J(R)$ 是 $\pi$-正则的；并且每个 feckly zero-adequate 环都是初等除子环。如果 $R$ 具有 feckly adequate range 1，我们证明 $R$ 是初等除子环当且仅当 $R$ 是 B$\acute{e}$zout 环。由此，许多已知结果被推广到更广泛的环类中，例如 [4, Theorem 14]、[5, Theorem 4]、[8, Theorem 1.2.14]、[10, Theorem 4] 和 [11, Theorem 7]。