将 $FD(\omega)$ 稠密地嵌入到 $\mathcal{P}_s$ 中

设 $\mathcal{P}_s$ 为 $2^\omega$ 的非空 $\Pi_1^0$ 子集在 Medvedev 可归约性下的度格。Binns 和 Simpson 证明了具有可数多个生成元的自由分配格 $FD(\omega)$ 可以格嵌入到 $\mathcal{P}_s$ 中任何非零元素之下。Cenzer 和 Hinman 通过改编用于证明 c.e. Turing 度稠密性的 Sacks 保持策略和 Sacks 编码策略，证明了 $\mathcal{P}_s$ 是稠密的。利用对 Cenzer 和 Hinman 构造方法的改进，我们提升了 Binns 和 Simpson 的结果，证明了对于任意 $\mathcal{U} <_s \mathcal{V}$，可以将 $FD(\omega)$ 格嵌入到 $\mathcal{P}_s$ 中严格介于 $deg_s(\mathcal{U})$ 和 $deg_s(\mathcal{V})$ 之间的位置。我们还指出，与 Sacks 稠密性定理证明中的无限损伤不同，在我们的证明中所有损伤均为有限的；如果对 Cenzer 和 Hinman 的证明进行直接的简化，这一结论同样成立。