有限费米子密度下的简单 $\mathbb{Z}_2$ 格点规范理论

格点规范理论是理论上描述包括阻挫磁体、高 $T_c$ 超导体和拓扑相在内的各种强关联系统的有力语言。然而，在许多情况下，规范场耦合于无能隙的物质自由度，使得这类理论在定量分析上变得极其困难。在本文中，我们研究了一维和二维空间中具有无能隙费米子的有限密度 $\mathbb{Z}_2$ 格点规范理论的几个例子，这些理论要么是严格可解的，要么其求解可归结为已知问题的求解。我们考虑了复费米子（无能旋与有旋）以及 Majorana 费米子，并研究了严格施加 Gauss 定律的理论以及将所有背景电荷部分均保留在物理 Hilbert 空间中的理论。我们结合对偶映射和 $\mathbb{Z}_2$ 奴隶自旋表示，将我们的规范理论映射为规范不变费米子模型，这些模型要么是自由的，要么具有可进一步分析的 Hubbard 或 Falicov-Kimball 型格点相互作用。在一维中，这些理论的相图包括自由费米子金属、绝缘体和超导体；Luttinger 液体；以及关联绝缘体。在二维中，我们发现了多种有能隙和无能隙相，后者包括具有涌现 Dirac 费米子的均匀和空间调制磁通相，其中一些违反了 Luttinger 定理。